Cho x;y là các số nguyên dương thỏa mãn: \(x^2+xy+1⋮y^2+xy+1\)
Tính: \(A=\dfrac{2017x^4+2018y^4}{4035x^2y^2}\)
Cho x;y thuộc N*: \(x^2+xy+1⋮y^2+xy+1\)
Tính: \(A=\frac{2017x^4+2018y^4}{4035x^2y^2}\)
a) Tìm cặp số x,y nguyên dương thỏa mãn \(x^2+y^2\left(x-y+1\right)-\left(x-1\right)y=22\)
b) Tìm các cặp số x,y,z nguyên dương thỏa mãn \(\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}=4\)
Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn: \(\dfrac{2x+2y}{xy+2}\) có giá trị là 1 số nguyên
Lời giải:
Với $x,y$ dương thì $\frac{2x+2y}{xy+2}$ nếu nhận giá trị nguyên thì là nguyên dương
$\Rightarrow 2x+2y\geq xy+2$
$\Leftrightarrow (x-2)(y-2)-2\leq 0(*)$
Nếu $x,y> 4$ thì $(*)$ không thể xảy ra. Do đó tồn tại ít nhất 1 số trong 2 số $\leq 4$
Giả sử $y=\min (x,y)$.
Nếu $y=1$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+2}{x+2}=2-\frac{2}{x+2}$ nguyên khi $x+2$ là ước của $2$. Mà $x+2\geq 3$ với mọi $x$ nguyên dương nên TH này loại
Nếu $y=2$ thì $\frac{2x+2y}{xy+2}=\frac{2x+4}{2x+2}=\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$ nguyên khi $x+1$ là ước của $1$. Mà $x+1\geq 2$ nên TH này cũng loại nốt.
Nếu $y=3$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=x-2-2=x-4$
$\Rightarrow 4\geq x$. Vì $x\geq y$ nên $x=3$ hoặc $x=4$. Thay vô phân thức ban đầu ta có $(x,y)=(4,3)$ thỏa mãn
Nếu $y=4$ thì $0\geq (x-2)(y-2)-2=2(x-2)-2$
$\Rightarrow x\leq 3$. Mà $x\geq y$ nên loại.
Vậy $(x,y)=(4,3)$ và hoán vị $(3,4)$
Cho x; y là các số nguyên dương thả mãn: \(\dfrac{x^2+xy+1}{y^2+xy+1}\) là một số nguyên> Tính Giá trị của A = \(\dfrac{2010xy}{2009x^2+2011y^2}\)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn \(xy+yz+zx=\dfrac{9}{4}\)
Tìm gtnn P=\(x^2+14y^2+10z^2-4.\sqrt{2y}\)
1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(3a+b\le1\). Tìm Min của \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm Max \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)
3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). Tìm Max \(A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}\)
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Giúp mn vs :<
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+\dfrac{1}{y}< =1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{x^2-2xy+2y^2}{xy+y^2}\)
cho 2 số thực `x,y` thỏa mãn `x>0,y>2,x`\(\ne\)`2y`. CMR: \(\left(\dfrac{x-y}{2y-x}-\dfrac{x^2+y^2+y-2}{x^2-xy-2y^2}\right)\left(2x^2+y+2\right):\dfrac{x^4+4x^2y^2+y^4-4}{x^2+y+xy+x}=\dfrac{x+1}{2y-x}\)
Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:
\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:6xy+4x-9y-7=0
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=x^3+y^3+xy với x,y dương thỏa mãn x+y=1
Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 2x^2+1/x^2+y^2/4=4 sao cho xy đạt giá trị lớn nhất
HELP !
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)